Pourquoi la somme successive des chiffres d'un multiple de 9 donne 9?

Beaucoup d'énigmes, de tours de magie ou de divination jouent sur cette propriété de prime abord étonnante des multiples de 9. Si je prends n'importe quel nombre non nul et que je le multiplie par 9 alors l'addition successive de ses chiffres nous donnera 9. Par exemple, si je prends [math]541 \times 9 = 4869[/math] or [math]4+8+6+9=27[/math] et [math]2+7=9[/math]. Comme je l'ai susmentionné, cela peut être de prime abord étonnant mais en réalité, celle est tout a fait logique et réside dans le fait qu'en base 10, 9 est le nombre qui précèdent le nombre de la base (en gros [math]9 = 10 -1[/math] et c'est ce qui en fait sa singularité).

Nous travaillons usuellement en base 10, cela signifie que n'importe quel nombre peut être décomposé de tel façon : [math] nombre = ...+d \times 10^{3}+ c \times 10^{2} + b \times 10^{1} + a \times 10^{0} =[/math] [math]...+ d\times 1000 + c \times 100 + b \times 10 + a[/math]. Cela vaut pour tout nombre positif ou nul, sachant que les chiffres a,b,c... peuvent valoir 0. Pour les négatifs, il suffit de rajouter un moins devant. Je vous propose de jouer un peu avec cette écriture: [math]nombre = ...+1000d+100c+10b+a =[/math] [math]....+999d+99c+9b+a+b+c+d+...=[/math] [math]9\times (...+111d+11c+b)+(....d+c+b+a) =[/math] [math]9\times x + (...d+c+b+a)[/math]. Je me suis permis d'ajouter une variable x pour simplifier l'écriture car ce nombre [math](...+111d+11c+b)[/math] ne nous intéresse guère. Ce qu'il faut remarquer, c'est que pour tous nombres en base 10, on peut l'écrire comme un multiple de 9 auquel on ajoute la somme de ses chiffres.

Maintenant, posons que notre nombre de départ soit un multiple de 9, alors [math]9y = 9x + (...+d+c+b+a)[/math]. On a donc un multiple de 9 qui est égal à un multiple de 9 plus une addition de ses chiffres. Pour que cela soit un multiple de 9, alors on a pas le choix, il faut que cette addition de chiffres soit également un multiple de 9. De ce fait, dans le cas où l'on prend un multiple de 9, alors l'addition de ses chiffres nous donnera forcément un autre multiple de 9 plus petit. Cela vaut pour tous multiples de 9. Donc cela vaut également pour le nombre obtenu via l'addition des chiffres d'un multiple de 9 plus grand. On peut donc par récursivité en déduire que les additions successives de multiples de 9 amèneront inévitablement à 9 ou 0 (0 étant un multiple de 9 particulier).

Et...c'est tout. C'est aussi simple que cela. Pas besoin d'avoir fait bac+5 pour comprendre cela, une bonne logique suffit. Mais 9 n'a rien de magique. C'est juste car c'est le nombre précédent la base. Si je travaille en base 8 (en octal) alors les multiples de 7 ont également cette propriété. Par exemple, en base 8, on a [math]7 \times 6523 = 56 505[/math] or [math]5+6+5+0+5 = 25[/math] et [math]2+5 = 7[/math].