D'où vient le discriminant et son utilité?

J'imagine qu'on a déjà dû vous apprendre à résoudre une équation du second degré, sinon vous ne chercherez pas un article sur le discriminant en mathématique. On a dû vous expliquer que lorsqu'on avait un polynôme du second degré, du type [math]ax^2+bx+c[/math] et que vous recherchez les racines, c'est-à-dire lorsque ce polynôme s'annule, on cherche un delta majuscule qu'on appelle Discriminant tel que [math]\Delta = b^2 - 4ac[/math] et on regarde son signe. Alors, on gobe ça, ça marche très bien mais on ne nous explique pas toujours d'où il vient. Pourquoi cette valeur [math]b^2 - 4ac[/math] ? Cela sort d'où? Et en quoi son signe nous permet de déterminer les racines d'un polynôme?

Je ne sais pas vous mais personnellement, je n'aime pas apprendre bêtement des choses. J'ai besoin de comprendre. Une fois que j'ai assimilé la logique, je retiens beaucoup plus facilement que du par-cœur car du coup, ça fait sens. Bien sûr, ce n'est pas un savoir caché et certains professeurs l'expliquent et c'est génial. Mais avec la pression du programme et le peu de temps qu'on a pour le faire, certains ont tendance à aller à l'essentiel en donnant les outils sans mentionner pourquoi ils marchent. En réalité, il nous appartient à nous de chercher et une simple recherche sur le net vous amènera la réponse. C'est peut-être même ça qui vous a amené. Donc rentrons dans le vif du sujet.

Pour vous montrer que c'est absolu, générique, je ne vais pas prendre un exemple spécifique et je vais rester avec la fonction [math]f(x) = ax^2+bx+c[/math]. L'idée va être de réécrire cette fonction sous une autre forme. Cette nouvelle forme s'appelle la forme canonique. Tout d'abord, on va factoriser a : [math]ax^2+bx+c = a(x^2+ \frac{b}{a}x + \frac{c}{a})[/math]. Jusque là, ça ne casse pas trois pattes à un canard. Ensuite, c'est là que se passe toute l'intelligence du processus. On note qu'on a presque une identité remarquable. Effectivement, [math](x + \frac{b}{2a})^2 = x^2 + \frac{b}{a}x + (\frac{b}{2a})^2[/math]. On y est presque dans notre cas. Il nous manque juste [math](\frac{b}{2a})^2[/math]. Dans notre polynôme factorisé, on peut ajouter 0 sans rien changer du résultat, vous êtes d'accord? [math]a(x^2+ \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}) = a(x^2+ \frac{b}{a}x + 0 + \frac{c}{a})[/math]. Mais pourquoi écrire bêtement 0 lorsqu'on peut écrire [math](\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2[/math] ? Notre fonction devient [math]f(x) = a(x^2+ \frac{b}{a}x + (\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2 + \frac{c}{a})[/math]. On s'est embêté à retrouver une identité remarquable donc utilisons la : [math]f(x) = a((x +\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2 + \frac{c}{a})[/math]. Bien, on a un carré, l'avantage est qu'on sait que ça sera toujours positif ou nul.

Maintenant, intéressons-nous à ce qu'il reste. On va notamment les mettre sous le même dénominateur : [math] - (\frac{b}{2a})^2 + \frac{c}{a} = -\frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a} = \frac{-b^2}{4a^2} + \frac{4ac}{4a^2} = \frac{-b^2 + 4ac}{4a^2} = - \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}[/math]. Remettons cela dans notre fonction, on finit avec : [math]f(x) = a((x +\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a^2})[/math].

Je rappelle le but initial, c'est de trouver pour quel x, on a [math]f(x) = 0[/math]. Donc [math]f(x) = 0 \Rightarrow a((x +\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}) = 0 \Rightarrow (x +\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} = 0\Rightarrow (x +\frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}[/math]. On arrive donc à un carré qui doit être égal à un nombre de signe variable. Mais de quoi dépend réellement le signe de ce nombre? De [math]4a^2[/math]? Évidemment que non car a au carré sera toujours positif donc [math]4a^2[/math] aussi. La seule chose qui va faire influer le résultat est le signe de [math]b^2 - 4ac[/math]. Et comme on a la flemme de réécrire ça à chaque fois, on a dit qu'on allait créer une variable pour ça, et on a établi que [math]\Delta = b^2 - 4ac[/math].

Force est de constater qu'on retrouve ici notre discriminant et qu'au final, tout dépend de lui pour trouver l'égalité qui permet de déterminer les x tel que f(x) = 0. Pour être plus précis, tout dépend du signe du discriminant donc travaillons par disjonction des cas.

Si [math]\Delta > 0[/math]

Un carré est égal à un nombre positif. Cela signifie qu'on peut appliquer de part et d'autres de l'équation la fonction racine carrée définie sur [math][0;+\infty[[/math]. On a donc [math](x +\frac{b}{2a})^2 = \frac{\Delta}{4a^2}[/math] [math]\Rightarrow x +\frac{b}{2a} = \sqrt{\frac{\Delta}{4a^2}}\Rightarrow x +\frac{b}{2a} = |\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}|[/math].

Ainsi, on arrive à deux cas: [math]x +\frac{b}{2a} = \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\Rightarrow x = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}[/math] et [math]x +\frac{b}{2a} = - \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\Rightarrow x = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}[/math].

Si [math]\Delta = 0[/math]

C'est le cas le plus simple car du coup, [math]\frac{\Delta}{4a^2} = 0[/math]. On se retrouve ainsi avec [math](x +\frac{b}{2a})^2 = 0 \Rightarrow x +\frac{b}{2a} = 0 \Rightarrow x = -\frac{b}{2a}[/math].

Si [math]\Delta < 0[/math]

Dans les réels, un carré ne peut pas égaler un nombre négatif. On s'arrête donc là, il n'y a pas de solution. Point.
Après, ça, c'est dans les réels. Mais pourquoi se borner à cela? On pose [math] -1 = i^2[/math] et nous voici dans les complexes. Or [math]\Delta < 0 \Rightarrow -1 \times \Delta > 0 \Rightarrow i^2 \times \Delta > 0 [/math].

En réécrivant notre delta avec i au carré, on se retrouve donc avec un nombre positif. On n'a donc plus qu'à appliquer le raisonnement vu avec delta positif et on tombe sur : [math]x +\frac{b}{2a} = \frac{\sqrt{\Delta i^2}}{2a}\Rightarrow x = \frac{-b+\sqrt{\Delta}i}{2a}[/math] et [math]x +\frac{b}{2a} = - \frac{\sqrt{\Delta i^2}}{2a}\Rightarrow x = \frac{-b-\sqrt{\Delta}i}{2a}[/math].

Voilà, maintenant, le discriminant n'a plus de secrets pour vous. Vous savez d'où il vient et pourquoi son signe vous donne tant d'informations pour déterminer les racines.