Expliquons ce tour de Fabien Olicard

Fabien Olicard est un mentaliste que je suis depuis un moment et j'ai même eu la chance de le voir en spectacle récemment à Lyon. Il a sorti une vidéo dans lequel il essaie de nous bluffer. C'est un tour mathématique donc forcément, l'impact sur moi fut moindre mais il est toutefois assez ludique et peut faire son effet sur les non-initiés. Je vous propose de le découvrir ici et j'expliquerai le tour plus en profondeur juste après:

Évidemment, vous n'aviez en réalité pas le choix. Vous ne pouviez tomber que sur "Logique". Pourquoi? Eh bien, c'est logique . Il a utilisé la propriété des multiples de 9 dont j'ai parlé dans un précédent article. Pour tout multiple de 9 non nul, la somme successive des chiffres qui le compose aboutira inlassablement à 9. Et dans sa grille, si on regarde le positionnement du mot logique, on le trouve à la position 9, 18 et 27 (tous des multiples de 9). Sachant qu'une différence d'année restera dans le pire des cas à 4 chiffres, il avait anticipé que vous ne pourrez aller plus loin.

Cependant, d'où sort le nombre 9? Après tout, il vous a demandé de prendre votre année de naissance. C'est propre à chacun. Et c'est vrai. Néanmoins, la manipulation qu'il vous demande de faire aboutira toujours au même résultat, ça donnera un multiple 9. Je m'explique. Prenons un nombre quelconque en base 10 sur 4 chiffres : [math]a \times 1000+b \times 100+c \times 10+d[/math]. Si on inverse l'ordre des chiffres, on obtient alors [math]d \times 1000+c \times 100+b \times 10+a[/math]. Regardons la soustraction des deux:
[math]1000a+100b+10c+d - (1000d+100c+10b+a)[/math]
[math]=1000(a-d)+100(b-c)+10(c-b)+(d-a)[/math] (On regroupe par puissance de 10)
[math]=1000(a-d)+100(b-c)-10(b-c)-(a-b)[/math] (On inverse le signe des deux derniers)
[math]=(1000-1)(a-d)+(100-10)(b-c)[/math] (On factorise)
[math]=999(a-d)+990(b-c)[/math]
[math]=9 \times (111(a-d)+110(b-c))[/math] (On factorise par 9)
[math]=9x[/math]

Voilà, on vient de prouver que soustraire un nombre avec le même nombre mais les chiffres inversés revient obligatoirement à un multiple de 9. Après, par la propriété des multiples de 9, on retombe sur ce qu'on a vu plus haut. Nonobstant, je rappelle qu'il y a un multiple de 9 particulier sur lequel l'addition successive n'amène pas à 9, c'est le 0. Dans ce cas là, ça amène tout simplement à 0. Est-ce que cela peut arriver dans notre cas? Peut-on avoir une année dont les chiffres inversés donne lui-même? Tout à fait, dans le cas d'années palindromiques. On parle de palindrome lorsqu'un mot ou nombre peut se lire indépendamment de droite à gauche et de gauche à droite. Dans le cas de nos années, 2002 et 1991 sont des palindromes par exemple. Dans ces cas là, il amène à 0 et il suffit d'ajouter dans le liste de Fabien le 0 - Logique pour que le tour marche de partout.

Voilà comment on donne l'illusion du choix et de l'unicité (c'est votre année de naissance, elle vous est propre) et pourtant, on vous amène tous au même résultat. C'est juste la magie des mathématiques.